Родился 20 ноября 1944 г.

В 1967 г. окончил Челябинский политехнический институт, в 1973 г — ГИТИС (мастерская М. О. Кнебель и А. А. Попова).

После окончания института работал в ЦАТСА. В 1977 г. вместе со своим учителем А. А. Поповым и сокурсниками А. А. Васильевым и И. М. Райхельгаузом возглавил драматический театр им. Станиславского. В театре Станиславского прошли три года, эти годы по выражению самого Бориса Морозова были «удивительным временем, когда всё получалось», когда были поставлены «Брысь, костлявая, брысь» по С. Шальтянису и «Сирано де Бержерак» Э.Ростана.

Б. А. Морозов работал в Театре им. Маяковского, в 1988–1995 гг. возглавлял Театр им. Пушкина. В течение нескольких сезонов был очередным режиссером Малого театра, где поставил чеховского «Лешего», «Горячее сердце» А. Н. Островского, «Преступную мать, или Второго Тартюфа» П. Бомарше, «Пир победителей»
А. Солженицына. В сезоне 1995–1996 гг. Борис Морозов возвращается в Театр Армии, став его главным режиссером. Он поставил «Много шума из ничего» и «Гамлета» Шекспира, «Сердце не камень» Островского, «Скупой» Мольера, «Севастопольский марш» (по рассказам Л. Толстого), «На дне» Горького, «Давным давно» Г. Гладкова.

Б. А. Морозов много и успешно ставит в театрах России и за рубежом.